Нормальное напряжение при кручении формула

Кручение – вид деформации, свойственный для условий приложения к телу силы в поперечной плоскости. Деформация кручения действует на валы и пружины.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:
kruchenie-1.png
т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

  1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
  2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Основные понятия

Под кручением понимают вид деформации, свойственный для условий приложения к телу силы в поперечной плоскости. В результате этого в поперечном разрезе формируется крутящий момент. Деформациям кручения подвергаются валы и пружины.

Валом называют функционирующую на кручение вращающуюся деталь в виде стержня.

Под торсионом понимают функционирующий на кручение стержень, применяемый в качестве упругого элемента.

Для круглых валов, наиболее обширно применяемых в технике, разработана теория кручения. Она основана на трех положениях:

  • После деформации сохраняется плоское поперечное сечение детали.
  • При деформации радиусы, проходящие поперек детали, не искривляются и проворачиваются на равный угол.
  • При деформации продольные волокна сохраняют размеры, следовательно, разделяющие поперечные сечения расстояния неизменны.

Определение деформации кручения

Из приведенных положений следует, что кручение представлено деформацией сдвига материала между соседними поперечными сечениями, обусловленной проворотом последних вокруг оси.

Деформациями при кручении считают взаимный проворот сечений. Они формируются вследствие воздействия на стержень пар сил с перпендикулярными к его продольной оси плоскостями действия.

Величина деформаций описывается углом закручивания. Под полным понимают угол поворота свободного конца. Относительным считают значение для определенной длины вала. Данные параметры рассчитывают с учетом прочности и жесткости деталей.

Угол закручивания стержня цилиндрической конфигурации в границах упругих деформаций определяется уравнением закона Гука для кручения, представляющего отношение произведения момента и длины вала к произведению геометрического полярного инерционного момента и модуля сдвига.

Относительный угол закручивания вычисляют как частное угла закручивания и длины стержня.

Под вращающими либо скручивающими моментами понимают показатели пар сил, воздействующих на вал. Их подразделяют на внешние, называемые вращающими и скручивающими, и внутренние (крутящие). Под влиянием перпендикулярных продольной оси бруса внешних крутящих моментов формируются внутренние. Они передаются на деталь в точках установки шкивов ременных передач, зубчатых колес и т. д.

Крутящий момент представлен силовым фактором, обуславливающим круговое передвижение сечения относительно перпендикулярной ему оси или препятствующим ему. Его значение равно сумме скручивающих усилий по одну сторону от данной точки. Положительными считают внутренние моменты, направленные против часовой стрелки со стороны внешней нормали (отброшенной части). При этом соответствующий внешний момент имеет направление, совпадающее с ходом часовой стрелки.

Основные понятия деформации кручения

Условия прочности и жесткости применяют для решения следующих задач:

  • Выполнения проверочного расчета данных условий для конкретных значений крутящего момента и валов определенного размера и материала.
  • Выполнения проектировочного расчета для вычисления диаметров и нахождения большего из них.
  • Определения грузоподъемности вала путем вычисления крутящего момента из обоих условий и нахождения меньшего из них.

Под эпюрой крутящих моментов понимают график, отображающий закон их изменения по длине либо сечению детали.

При разделении детали по длине на три участка в соответствии с методом сечений получится, что для первого (правого) фрагмента наблюдается линейная зависимость крутящего момента от координаты сечения ввиду влияния равномерно распределенной нагрузки, для второго и третьего участков данная зависимость отсутствует. При этом в точках приложения внешних сосредоточенных усилий наблюдаются скачки, соответствующие их величине.

В сечении наблюдается линейное изменение, определяемое законом касательных напряжений, в прямой зависимости от расстояния от центра.

Таким образом, в продольном разрезе наибольшие деформации кручения характерны для точки, наиболее удаленной от места закрепления детали. В поперечном разрезе максимальные деформации кручения наблюдаются на поверхности.

Полярный инерционный момент сечения представляет собой геометрическую характеристику жесткости при кручении для круглого вала. Полярный момент сопротивления сечения является аналогичным параметром для его прочности.

Следует отметить, что большинство приведенных выше понятий описывается с применением формул.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, не работающий на кручение, называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения τr{displaystyle tau _{r}}tau_r, возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

τr=T⋅rJ0{displaystyle tau _{r}={Tcdot r over J_{0}}}{displaystyle tau _{r}={Tcdot r over J_{0}}},

где r — расстояние от оси кручения.

Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при rmax=R{displaystyle r_{max}=R}r_{max} = R и при максимальном крутящем моменте Tmax{displaystyle T_{max}}{displaystyle T_{max}}, то есть

τmax=Tmax⋅RJ0=TmaxWp{displaystyle tau _{max}={T_{max}cdot R over J_{0}}={frac {T_{max}}{W_{p}}}}{displaystyle tau _{max}={T_{max}cdot R over J_{0}}={frac {T_{max}}{W_{p}}}},

где Wp — полярный момент сопротивления.

Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:

τmax=TmaxWp≤[τ]{displaystyle tau _{max}={frac {T_{max}}{W_{p}}}leq [tau ]}tau_{max} = frac {T_{max}}{W_p} le [tau].

Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

modif.png Эта страница в последний раз была отредактирована 25 декабря 2020 в 19:26.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

ISopromat.ru

τ — касательные напряжения, T – внутренний крутящий момент, Ip – полярный момент инерции сечения вала, Wp – полярный момент сопротивления сечения, [ τ ] – допустимое напряжение, G – модуль упругости II рода (модуль сдвига), ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки, D – внешний диаметр вала, d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.

Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)

Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала

Формулы полярных моментов инерции и сопротивления

  • для вала сплошного (круглого) сечения
  • для вала кольцевого сечения

Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности

  • сплошное круглое сечение
  • кольцевое сечение

Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)

Источник

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:
kruchenie-2.png
где Iρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:
kruchenie-3.png
Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax:
kruchenie-4.png
Здесь:
kruchenie-5.png
— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:
kruchenie-10.png
kruchenie-6.png
б) для вала сплошного сечения (c=0)
kruchenie-7.png
в) для тонкостенной трубы (t0,9)
kruchenie-8.png
где
kruchenie-9.png
— радиус срединной поверхности трубы.

Деформация кручения

Напряжения и деформации при кручении

Исследование отдельных участков и слоев цилиндрического бруса, нагруженного скручивающим (вращающим) моментом, дает основание полагать, что в поперечных сечениях этого бруса нормальные напряжения (направленные вдоль оси) отсутствуют, а возникают только касательные напряжения, модули которых расположены в плоскости исследуемого сечения. Этот вывод опирается и на гипотезу о не надавливании волокон, предполагающую, что если брус представить в виде многочисленных цилиндрических продольных волокон, то при деформациях разного рода эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (не давят друг на друга). Как показали многочисленные опыты и исследования, эта гипотеза справедлива в определенном интервале деформаций, и погрешностями в расчетах, связанными с ее применением, можно пренебречь.

На рис. 1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа1 , а сечения волокна b — дуге bb1 . Этот сдвиг (т. е. длины дуг) можно определить, зная угол φ закручивания исследуемого сечения относительно центральной оси: дуга аа1 = rφ ; дуга bb1 = Rφ , где: r — расстояние от волокна а до оси кручения, R — радиус сечения круглого бруса, φ — полный угол закручивания бруса.

Так как радиусы сечений при кручении бруса остаются прямыми (принятое предположение), то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения, т. е. чем дальше от оси расположено продольное волокно, тем сильнее сдвинется его сечение относительно центральной оси.

Деформация кручения

В различных механизмах детали подвергаются влиянию разных сил, приводящих к возникновению деформаций. Далее рассмотрена деформация кручения: факторы и закономерности ее проявления, формирующие ее силы, особенности деформации изделий различной формы.

Деформация кручения

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:
kruchenie-11.png
Если крутящий момент и величина GIρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:
kruchenie-12.png
Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:
kruchenie-13.png
Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

  1. условию прочности:
    kruchenie-14.png
  2. условию жесткости:
    kruchenie-15.png

Для стальных валов принимается:

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

  1. проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
  2. Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:
    kruchenie-18.png
    при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
  3. Определение грузоподъемности вала:

    Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.
kruchenie-21.png
Главные напряжения σ1 = τ, σ3 = -τ наклонены под углом α=±45о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле
kruchenie-22.png
или для участка вала при постоянном T и GIρ

Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >

Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Главная Учебные курсы Сопротивление материалов Кручение Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала (рис. 7.2), левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол φ

к, называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол

γ , называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до —

γmax на внешней поверхности. Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опыта вводятся следующие гипотезы:

  1. Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).
  2. Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.
  3. Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

Рис. 7.2.

С учетом указанных гипотез геометрическая картина деформаций вала представлена на рис. 7.2. Рассмотрим, вырезанный из вала клиновидный элемент (см. рис. 7.2) длиной dx

. Из рисунка видно, что

,

откуда следует, что угол сдвига изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Согласно закону Гука при сдвиге (3.34), имеем:

откуда получаем:

что касательные напряжения в сечении вала изменяются по радиусу по линейному закону.

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Для доказательства этого будем исходить от противного, то есть, предположим, что касательное напряжение не перпендикулярно радиусу. Это означает, что в каждой точке сечения, кроме касательных напряжений, перпендикулярных радиусам, действуют радиально направленные касательные напряжения. Но если это так, то по закону парности и на цилиндрической поверхности радиуса ρ

или

r будет действовать касательное напряжение, что неверно, так как на боковой поверхности нет напряжений.

Крутящий момент в сечении бруса определяется из уравнения (3.5):

или в более краткой записи

где ρ

— плечо элементарной касательной силы
τ

где — есть полярный момент инерции сечения. С учетом уравнения (7.3) можно определить касательное напряжение в произвольной точке

поперечного сечения вала, определяемой радиусом

ρ :

а также максимальное касательное напряжение, действующее на контуре вала:

где Wp

— полярный момент сопротивления.

Эпюра распределения касательных напряжений по радиусу показана на рисунке 7.4 для сплошного и полого валов.

Рис. 7.4.

Угол закручивания вала нетрудно определить на основе полученного выше уравнения:

,

из которого с учетом (7.6) имеем:

Угол закручивания всего бруса

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для Мкр

или различными выражениями

Ip , то

В частном случае при Мкр(x)=const

или

Ip=const , то есть только для бруса постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами,

Предыдущая Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Следующая

Версия для печати

Основные понятия и зависимости.

Под кручением

стержня понимается такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент

Мкр , а в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения τ. (

Прочие силовые факторы, т.е. Nz, Qx, Qy, Mx, My– равны нулю ).

Валом называется

– стержень, работающий на кручение. При расчете стержня (вала) на кручение требуется решить две основные задачи: прочность и жесткость. Если система является статически неопределимой, то необходимо раскрыть статическую неопределимость.

Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Мкр

направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...